Chapitre 5 - Géométrie dans l'espace

Droites et plans : positions relatives
Orthogonalité de deux droites
Orthogonalité de d'un plan et d'une droite

A Positions relatives

Les objects géométriques de base du plan sont les points et les droites. Nous savons déjà que dans le plan, deux droites ne peuvent être que sécantes ou parallèles.

Dans l'espace, les points et les droites existent toujours. Par contre une droite ne sépare plus le plan en deux car on peut "tourner autour". Les

plans

sont des objects infinis qui peuvent séparer l'espace en deux parties infinies.

Chaque plan de l'espace est similaire au plan que l'on connaît déjà, et les notions de géométrie connues s'y appliquent (distance, angles, théorèmes connus, ...).

1Deux droites

Dans l'espace, deux droites

$\mathcal{D_1}$ et

$\mathcal{D_2}$ sont dites coplanaires si il existe un plan

$\mathcal{P}$ qui les contient toutes les deux, c'est à dire si :

$\mathcal{D_1} \subset \mathcal{P} \text{ et } \mathcal{D_2} \subset \mathcal{P}$

Dans l'espace, deux droites

$\mathcal{D_1}$ et

$\mathcal{D_2}$ coplanaires sont parallèles ou sécantes. On peut observer les trois configurations possibles ci-dessous.

Il est possible de télécharger le fichier Geogebra directement ici

2Deux plans

Deux plans

$\mathcal{P}_1$ et

$\mathcal{P}_2$ sont soit parallèles (on note

$\mathcal{P}_1 // \mathcal{P}_2$ ), soit sécants. On peut observer le deux configurations ci-dessous.

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Si deux plans

$\mathcal{P_1}$ et

$\mathcal{P_2}$ sont sécants, l'intersection

$\mathcal{P_1}\cap\mathcal{P_2}$ est une droite.

3Une droite et un plan

Une droite

$\mathcal{D}$ et un plan

$\mathcal{P}$ sont dans une des trois configurations suivantes (représentées ci-dessous) :

$\mathcal{D}$ est incluse dans $\mathcal{P}$ (noté $\mathcal{D}\subset\mathcal{P}$ )
$\mathcal{D}$ coupe $\mathcal{P}$ en un point.
$\mathcal{D}$ est parallèles à $\mathcal{P}$ (noté $\mathcal{D}//\mathcal{P}$ ) si il existe un plan parallèle à $\mathcal{P}$ qui contient $\mathcal{D}$ .

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